Algebraic Geometry Bucharest 1982. Proc. conf by L. Badescu, D. Popescu

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H. J. Ryser (Can. J. Math. 1, 88–93 (1949)) können endliche affine Ebenen der Ordnung n im Falle n ≡ 1(mod 4) oder n ≡ 2(mod 4) nur existieren, wenn n Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen ist. Damit gibt es keine endlichen affinen Ebenen der Ordnung 6, 14 oder 21. Einen einfachen Beweis des Satzes von BruckRyser findet man bei H. 1. Damit ist 10 unter den Nicht-Primzahlpotenzen die kleinste Zahl, die als Ordnung einer affinen Ebene möglich wäre: Mit langjährigen Computerrechnungen gelang 1989 der Nachweis, dass es keine affine Ebene der Ordnung 10 gibt.

Es sei K ein Schiefkörper. 1 soll die „affine Ebene der Spaltenvektoren über K“ konstruiert werden: Man definiert zunächst eine Menge von Punkten (1) lP := K 2 = a= a1 a2 : a1 , a2 ∈ K und erklärt eine Addition (2) a + b := a1 + b1 a2 + b2 fu ¨r a, b ∈ lP sowie eine skalare Multiplikation (3) αa := αa1 αa2 für a ∈ lP und α ∈ K. Eine leichte Verifikation ergibt: (4) (lP; +) ist eine abelsche Gruppe mit Nullelement O = 0 0 . (5) Für a, b ∈ lP und α, β ∈ K gelten die Regeln (α + β)a = αa + βa , α(a + b) = αa + αb , (αβ)a = α(βa) , 1a = a .

Seien a, b ∈ lP von Null verschieden, so dass O, a, b kollinear sind. 3 gibt es ein c ∈ lP, das nicht auf der Geraden durch O, a und b liegt. Dann sind O, a + b, c und O, a, b + c sowie O, b, c jeweils in allgemeiner Lage. Aus dem bereits bewiesenen Teil folgt § 2. Translationsebenen 29 ϕ(a + b) + ϕ(c) = ϕ(a + b + c) = ϕ(a) + ϕ(b + c) = ϕ(a) + ϕ(b) + ϕ(c) , also ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) . Demnach ist ϕ ein Endomorphismus von (lP, +). ✷ Wir benutzen diese Ergebnisse, um die affine Koordinatenebene IA2 (K) über einem Körper K näher zu untersuchen.

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