Algebra: Gruppen – Ringe – Körper by PD Dr. Christian Karpfinger, Prof. Dr. Kurt Meyberg (auth.)

By PD Dr. Christian Karpfinger, Prof. Dr. Kurt Meyberg (auth.)

Dieses Lehrbuch zur Algebra bietet eine Einführung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Es werden die Themen eines Grundkurses zur Algebra ausführlich und motivierend behandelt.

Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bemüht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisführungen sind ausführlich, die Kapitel sind in kleine Lerneinheiten unterteilt. Diese Lerneinheiten führen Schritt für Schritt an die Ergebnisse heran und können durch diese Darstellung vom Leser besser nachvollzogen werden.

Die zahlreichen Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade zum Ende der Kapitel überprüfen das Gelernte und fördern das tiefere Verständnis der Theorie. Auf der web site zum Buch stehen ausführliche Lösungsvorschläge zu den Aufgaben bereit.

Die three. Auflage wurde vollständig durchgesehen und um ein Kapitel über freie Gruppen erweitert.

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3 Der Satz von Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Der erste etwas tieferliegende Struktursatz der Theorie endlicher Gruppen ist der Satz von Lagrange. Er besagt, dass eine endliche Gruppe mit n Elementen höchstens Untergruppen U haben kann, deren Ordnungen Teiler von n sind. Der Weg zum Beweis dieses Satzes von Lagrange führt über sogenannte Nebenklassen a U . Mit Nebenklassen ist man eigentlich aus der linearen Algebra vertraut: Die Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen sind nämlich ebenfalls Nebenklassen a + U .

1007/978-3-8274-3012-0_5, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013 44 4 Normalteiler und Faktorgruppen (2) ⇒ (1): Nach (2) gelten für jedes a ∈ G die beiden Inklusionen: a N a−1 ⊆ N und a−1 N a ⊆ N . Sie sind gleichbedeutend mit a N ⊆ N a und N a ⊆ a N , also mit a N = N a. Bevor wir zu den Beispielen kommen, wollen wir nur kurz anmerken, dass man die Eigenschaft a N a−1 ⊆ N für einen Normalteiler N einer Gruppe G nach bewährtem Rezept für alle a ∈ G nachweist: Man nehme x ∈ N (beliebig), a ∈ G (beliebig) und zeige a x a−1 ∈ N .

2 Normalisatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Der Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Innere Automorphismen und das Zentrum einer Gruppe * . . . . . . . . 6 Isomorphiesätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Ist U eine Untergruppe einer Gruppe G, so liefert die Menge der Linksnebenklassen a U eine Partition von G.

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