Algebra fur Einsteiger: Von der Gleichungsauflosung zur by Jörg Bewersdorff

By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach speedy dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann quickly unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

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A Concrete Introduction to Higher Algebra

This publication is an off-the-cuff and readable advent to raised algebra on the post-calculus point. The suggestions of ring and box are brought via learn of the well-known examples of the integers and polynomials. the recent examples and concept are inbuilt a well-motivated type and made suitable through many purposes - to cryptography, coding, integration, background of arithmetic, and particularly to uncomplicated and computational quantity thought.

Algebraic Logic

The János Bolyai Mathematical Society held an Algebraic good judgment Colloquium among 8-14 August, 1988, in Budapest. An introductory sequence of lectures on cylindric and relation algebras was once given through Roger D. Maddux.

The current quantity isn't really limited to papers awarded on the convention. as an alternative, it's geared toward supplying the reader with a comparatively coherent studying on Algebraic good judgment (AL), with an emphasis on present examine. shall we now not conceal the complete of AL, the most very important omission being that the class theoretic models of AL have been handled in simple terms of their connections with Tarskian (or extra conventional) AL. the current quantity was once ready in collaboration with the editors of the court cases of Ames convention on AL (Springer Lecture Notes in computing device technology Vol. 425, 1990), and a quantity of Studia Logica dedicated to AL which used to be scheduled to visit press within the fall of 1990. a few of the papers initially submitted to the current quantity look in a single of the latter.

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Für biquadratische Gleichungen, die nicht in der reduzierten Form vorliegen, kann wieder wie bei der kubischen Gleichung vorgegangen werden: Zunächst wird eine biquadratische Gleichung mit kubischem Glied x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 mit der Substitution x= y− a 4 in eine reduzierte biquadratische Gleichung transformiert. Um für die bei der weiteren Auflösung auftretenden Zwischenwerte Formeln auf Basis der Lösungen der ursprünglichen Gleichung zu finden, ist in den gerade hergeleiteten Formeln jede Lösung xj (für j = 1, 2, 3, 4) durch x j + 14 a = x j − 14 ( x 1+ x 2 + x 3 + x 4 ) zu ersetzen.

1. Auch die dritte Problemstellung ist klassisch und entstammt Cardanos Buch Ars magna21. Allerdings bereitete es Cardano Schwierigkeiten, solche biquadratischen Gleichungen überhaupt zu behandeln, da sie ihm keine geometrische Interpretation boten. Dazu bemerkte er im Vorwort: „Da positio auf eine Linie, quadratum auf eine Fläche und cubum auf einen Körper hinweisen, wäre es sehr töricht, über dieses hinauszugehen. Die Natur erlaubt es nicht“22. Dank seines Schülers Ludovico Ferrari (1522-1569) konnte Cardano aber in seiner Ars magna auch ein Verfahren zur Lösung biquadratischer Gleichungen beschreiben.

Das heißt, die Zahl „1“ wird zunächst, nämlich von der rechts im „Produkt“ stehenden Permutation, auf die „2“ getauscht und dann weiter, das heißt von der im „Produkt“ links stehenden Permutation, auf den Platz, den ursprünglich die Ziffer „3“ innehatte. Die Gesamtheit aller n! Permutationen wird übrigens symmetrische Gruppe genannt und mit Sn bezeichnet. Zu ihr gehört immer auch die alles auf ihrem Platz belassende identische Permutation, oft einfach auch als Identität bezeichnet. Die Erkenntnis, dass alle Zwischenwerte der bekannten Lösungsformeln für die allgemeinen Gleichungen bis zum vierten Grade Polynomen in den Lösungen x1, x2, ...

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